Administracion de Operaciones I

1. Sistemas de ecuaciones lineales

Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales.

Existen muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de reducción, sustitución e igualación. Ahora bien, dado un sistema no siempre es necesario resolverlo sino que, a veces, sólo hace falta saber si tiene o no solución: En cuanto a la resolución de dichas ecuaciones daremos algunos sencillos métodos y utilizaremos el método de Gauss como otra alternativa de resolución.

Definición.

Se llama sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de ecuaciones de la forma:

Matriz de coeficientes

Donde x1, ..., xn son las incógnitas.
b1, ..., bm se denominan términos independientes.
Los números aij se llaman coeficientes de las incógnitas.

Sistemas Homogéneos:

Un sistema homogéneo es aquel que tiene todos los términos independientes nulos.

Cualquier sistema homogéneo es evidente que es compatible, pues dando a cada incógnita el valor 0, se cumplen las ecuaciones. Esta solución (que todas las incógnitas sean nulas) se llama solución trivial.

Cuando el término independiente sea cero, estamos ante un caso particular de sistemas que denominamos homogéneos, es decir:

Un conjunto de n números que verifiquen todas las ecuaciones se llama solución del sistema. Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus soluciones, es decir, hallar todos los valores de x1, ..., xn que verifican todas las ecuaciones.

Ecuación Pendiente

La pendiente m de una recta que pasa por los puntos (x1 , y1) y (x2 , y2) está dada por :

Ecuación punto pendiente:

También es posible hallar la ecuación de una recta con tan sólo tener su pendiente y uno de los puntos, con la siguiente relación:

y – y1 = m (x – x1)

Cualquier recta (excepto una con pendiente indefinida) se puede escribir en la forma pendiente – ordenada

y = mx + b

Donde m es la pendiente y b es la ordenada al origen.

Pendiente indefinida:

Si x2 – x1 = 0 y y2 diferente a y1, la línea recta es vertical y se dice que su pendiente es indefinida.

Dos recta distintas son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.

Si m1 es la pendiente de la recta L1, m2 es la pendiente de la recta L2, m1 diferente de cero y L1 y L2 son

perpendiculares, entonces:

m2 = -1 / m1

En rectas perpendiculares el producto de sus dos pendientes es -1.
Las rectas paralelas al eje x tienen una pendiente de cero.

FORMA GENERAL DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES

Dos ecuaciones con dos incógnitas:

a₁₁ x + a₁₂y = b₁

a₂₁ x + a₂₂y = b₂

Donde a11 , a12, a21, a22 se denominan coeficientes de las variables.

Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales podemos clarificarlos en tres tipos:

Sistema incompatible: Son aquellos que no poseen solución.

x – y = 7 y 2x – 2y = 13

Sistema compatible: Son aquellos que poseen solución. Dentro de ellos, podemos hablar de:

Sistema compatible determinado: Sistemas con una única solución.

x – y = 7 y x + y = 5

Sistema compatible indeterminado: Sistemas con infinitas soluciones.

x – y = 7 y 2x – 2y = 14

Su representación gráfica es:

STANLEY I, Grossman. Algebra Lineal. Mc Graw Hill. México 2000.

TAHA, Hamdy A. Investigación de Operaciones una introducción. 5 ed. México. D.F.:Alfaomega 2004.

2. Método eliminación Gauss - Jordan

El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal.

1. Determine la primer columna (a la izquierda) no cero.

2. Si el primer elemento de la columna es cero, intercámbielo por un renglón que no tenga cero.

3. Obtenga ceros abajo del elemento delantero sumando múltiplos adecuados a los renglones debajo de el.

4. Cubra el renglón y la columna de trabajo y repita el proceso comenzando en el paso 1. Al termino del ciclo entre el paso 1 al 4 (es decir cuando se han barrido todos los renglones), la matriz deber a tener forma de escalón.

5. Comenzando con el ultimo renglón no cero avance hacia arriba para que en cada renglón tenga un 1 delantero y arriba de el queden solo ceros. Para ello deber a sumar múltiplos adecuados del renglón a los renglones correspondientes.

Es importante observar que en el método de eliminación Gaussiana:

Los pasos del 1 a 4 aplicados repetidamente escalonan la matriz; el paso 5 aplicado repetidamente reduce la matriz.
En el paso 2, si el elemento no es cero no se realiza intercambio.
En el paso 3, los elementos que se hacen cero son solo los inferiores al pivote

Hallar Pivote

Nueva F2

Nueva F3

Hallar Pivote

\

Nueva F1

Nueva F3

Nueva F1

Nueva F2

Nueva Matriz

3. Matriz de Leontieff

EL PROBLEMA ECONOMICO DE LAS RELACIONES ÍNTER-INDUSTRIALES

El análisis de cuadros de insumo-producto, fue desarrollado por W.W. Leontief en 1936, como el instrumento de interpretación de las interdependencias de los diversos sectores de la economía. Es decir, en el análisis de insumo-producto consideramos cualquier sistema económico como un complejo de industrias mutuamente interrelacionadas. Se considera que toda industria recibe materias primas (insumos) de las demás industrias del sistema y que, a su vez, proporciona su producción a las demás industrias en calidad de materia prima. Fundamentalmente se trata de un análisis general del equilibrio estático de las condiciones tecnológicas de la producción total de una economía, durante el periodo de tiempo en cuestión.

La Matriz de Transacciones Ínter-industriales

A grandes rasgos, la economía en su conjunto se divide en el sector productor y en el sector consumidor; el sector productor, a su vez se divide en un gran número de industrias en el cual se supone que cada industria produce un producto homogéneo.

El punto de partida para la elaboración de un análisis de insumo-producto es la formulación de una tabla que contiene partidas que demuestran, ya sea cuantitativamente o en términos de valor, de qué manera se distribuye la producción total de una industria a todas las demás industrias en forma de producción intermedia (es decir, como materia prima) y a los usuarios finales no productores.

Esta es una tabla de transacciones ínter-sectoriales, que muestran como se ínter-relacionan todas las industrias, en el sentido de que cada una adquiere productos fabricados por las demás a fin de llevar a cabo su propio proceso.

Los sectores de esta tabla son precisamente Agricultura, Industria y Servicios. Estos nombres reflejan un concepto amplio, en el sentido de que dentro del sector servicios se agrupan todas las empresas que prestan algún tipo de servicio, tales como: bancos, transporte de carga, transporte de pasajeros, comercios, servicios profesionales diversos, servicios públicos diversos, etc. Dentro del sector industrial se agrupan todas las empresas que producen bienes, tales como: industria textil, farmacéutica, petroquímica, de energéticos, de alimentos, de bebidas, de plástico, de papel y derivados, etc. En el sector agricultura se agrupan todas las empresas agrícolas y ganaderas de diversos tipos, tales como: producción de hortalizas, de cereales, de forrajes, de ganado lechero, de ganado lanar, avícola, porcino, etc., o según otra clasificación más conveniente.

CALCULAR

MATRIZ

Se continua con el método Gauss Jordán

4. Asignación de recursos

La asignación de recursos es la distribución de activos productivos en sus diferentes usos.

El asunto de la asignación de recursos, se origina de como las organizaciones buscan balancear los recursos limitados como el capital, el trabajo y la tierra, frente a las diversas e ilimitadas necesidades de sus integrantes. Los mecanismos de asignación de recursos abarcan el sistema de precios en las economías de libre mercado.

La finalidad de distribuir los recursos es siempre la de obtener la máxima productividad posible a partir de una combinación dada de activos. Por consiguiente los mecanismos de asignación mas conocidos son las empresas, el hogar y el gobierno

Video:

Ejemplo:

Asignación de recursos en las lineas de producción de fritolay, donde si asignan los diferentes productos a las distintas freidoras dependiendo la cantidad de producto y la capacidad de las maquinas.

5. Vectores y matrices

Vector renglón y vector columna:

El vector es una matriz que tiene únicamente un renglón o una columna.

Vector renglón: Es una matriz que tiene un solo renglón. Un vector renglón de "n" componentes, conjunto ordenado de n números escritos así:

(X1 X2 X3… Xn) = ( 7, 3, 5 )

Vector columna: Es una matriz que tiene una columna solamente. Un vector columna de "n" elementos, conjunto ordenado de n números escritos así:

MATRICES

Una matriz es un arreglo rectangular de números dispuestos en filas y columnas y encerrados entre corchetes o paréntesis. Para representar a una matriz se utilizan letras mayúsculas. El orden de una matriz se representa como: m x n, donde “m” es el número de filas y “n” el número de columnas.

Ejemplo: