11. Inversa de una matriz

MATRICES INVERSAS

Existen dos metodos para poder hallar la inversa de una matriz los cuales son:

• Metodo por determinantes.
• Metodo por Gauss.

METODO POR DETERMINANTES.

La formula con la cual encontramos la inversa de una matriz con este tipo de metodo es.

 

 Pasos para hallar la inversa por determinantes:

1. hallamos la traspuesta de la matriz (At)

Definimos la traspuesta de una matriz m x n como la matriz que se obtiene al intercambiar las filas y las columnas de A como por ejemplo

Tenemos esta matriz 4 x 4 y determinamos al tener el resultado se es simetrica o antisimetrica.
Decimos que una matriz es simetrica cuando coincide con su traspuesta y antisimetrica cuando no.

La traspuesta seria:

Y es una matriz antisimetrica por que no concide con la matriz.


     2. hallamos la adjunta de la matriz.

Haremos uso de una matriz de positivos y negativos organizados de la siguente matera.

E iremos acomodanlo los resultados obtenidos en esta matriz para ultimamente realizar la multiplicacion por signos.

utilizaremos nuestra matriz original e iremos eliminando filas y columnas y trabajaremos con la matriz sobrante asi:

trabajaremos con la matriz sobrante.
Realizaremos la  suma de la multiplicacion entre los valores principales y secundarios y el resultado ira a la matriz de positivos y negativos, asi se hara con cada uno de los valores de la matiz, de la siguente forma:

los valores de color azul son los primarios y los verdes los secundarios.

y asi con cada uno de los valores hasta llenar la matriz de negativos y positivos y obtener un resultado

    3. Hallamos el determinante IAI

Para ello tomamos la matriz original hallamos los valores principales y secundarios y los restamos P-S = DETERMINANTE

Asi:

y realizamos la sigiente operacion.

     4. Por ultimo realizamos el producto de matrices entre la adjunta y la traspuesta.
     5.El resultado del producto de matrices entre la adjunnta y la traspuesta lo multiplicamos por el detrminante obtenido.

METODO POR GAUSS

 El metodo consiste en colocar junto a la matriz de partida, la matriz identidad. asi:

La inversa de una matriz por medio del método de Gauss se halla teniendo en cuenta y realizando paso a paso lo aprendido en el numeral 2 tema Eliminación por Gauss Jordan.

El resultado de la inversa por método de Gauss se halla cuando donde se encontraba la igualdad de la matriz   da la solución final.