13. Regla de Cramer - Determinantes

 

Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo.

Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester, Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton.

Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales , Económicas y Biológicas.

Regla de Cramer

La regla de Cramer es un teorema que se aplica en álgebra lineal. Es de utilidad cuando se buscan resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Esta regla es aplicada en sistemas que tengan como condición que el número de ecuaciones equivalga al número de incógnitas y que el determinante de la matriz de los coeficientes sea distinto de cero. Si dichas condiciones se cumplen en un sistema, llamaremos a este, sistema de Cramer.

Para calcular este tipo de sistemas es necesario seguir los siguientes pasos:

1. Se cambia el sistema de ecuaciones 3x3 a la matriz de coeficientes:

2. El siguiente paso es hallar los valores de X, Y y Z: para eso sacamos  4 determinantes:

Determinantes del sistema = Det (A)

Determinante de  X = Det ( A1)

Determinante de Y = Det (A2)

Determinante de Z = Det (A3)

Para obtener el determinante del sistema se toma la matriz  y le aumentamos dos filas mas con los coeficiente de las primeras dos filas y comenzamos a multiplicar :

Se multiplica en diagonal de derecha a izquierda y viceversa 

= [-1 + 6 + 4] – [-1+ - 6 + - 4]

= [9] – [-11]

= 9 + 11

= 20

3. El siguiente paso es sacar los determinantes de las variables:

Para sacar el determinante de X remplazamos los coeficientes de la columna de X por los términos independientes:

Para hallar el Determinante de (A1)  se hace igual que al determinante  (A):

= [-5 + -3 + 0] – [0 +-30 + 2]
= [-8] – [-28]
= -8 + 28
= 20

Para obtener el determinante de Y remplazamos los coeficientes de la columna de Y por los valores de igualación, como en el determinante anterior:

= [-1 + 0 + -10] – [-1 + 0 +10]
= [-11]-[9]
= -11 - 9
= -20 

Para hallar el determinante de Z se remplaza la columna de Z por los coeficiente de igualación como lo hemos hecho anteriormente: 

= [0 +30 +2] - [-5 + -3  + 0]

= [32] – [-8]

= 32 + 8

= 40

Utilizamos la formula: 

X = 20/20  = 1        Y = -20/20  = -1         Z = 40/20 = 2

Los valores de las variables son:

X = 1    Y = -1    Z= 2