Las matrices y los
determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de
datos, así como su manejo.
Los conceptos de
matriz y todos los relacionados fueron desarrollados básicamente en el siglo
XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester, Arthur Cayley y el
irlandés William Hamilton.
Las matrices se
encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente
ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales ,
Económicas y Biológicas.
Regla de Cramer
La regla de Cramer es un teorema que se
aplica en álgebra lineal. Es de utilidad cuando se buscan resolver sistemas de
ecuaciones lineales.
Esta regla es
aplicada en sistemas que tengan como condición que el número de
ecuaciones equivalga al número de incógnitas y que el determinante de la matriz
de los coeficientes sea distinto de cero. Si dichas condiciones se cumplen en un sistema,
llamaremos a este, sistema de Cramer.
Para calcular este tipo de sistemas es necesario seguir los siguientes
pasos:
1. Se cambia el sistema de ecuaciones 3x3 a la matriz de
coeficientes:
2. El siguiente paso es hallar los valores de X, Y y Z: para eso sacamos 4 determinantes:
Determinantes del sistema = Det (A)
Determinante de X
= Det ( A1)
Determinante de Y = Det (A2)
Determinante de Z = Det (A3)
Para obtener el
determinante del sistema se toma la matriz
y le aumentamos dos filas mas con los coeficiente de las primeras dos
filas y comenzamos a multiplicar :
Se
multiplica en diagonal de derecha a
izquierda y viceversa
= [-1 + 6 + 4] – [-1+ - 6 + - 4]
= [9]
– [-11]
= 9 +
11
= 20
3. El siguiente paso es
sacar los determinantes de las variables:
Para
sacar el determinante de X remplazamos los coeficientes
de la columna de X por los términos independientes:
Para
hallar el Determinante de (A1) se hace igual
que al determinante (A):
= [-5 + -3 + 0] – [0 +-30 + 2]
=
[-8] – [-28]
= -8
+ 28
= 20
Para
obtener el determinante de Y remplazamos los coeficientes
de la columna de Y por los valores de igualación, como en el determinante anterior:
= [-1 + 0 + -10] – [-1 + 0 +10]
=
[-11]-[9]
= -11
- 9
= -20
Para
hallar el determinante de Z se remplaza
la columna de Z por los coeficiente de igualación como lo hemos hecho anteriormente:
= [0 +30 +2] - [-5
+ -3 + 0]
=
[32] – [-8]
= 32
+ 8
= 40
Utilizamos la formula:
X = 20/20 = 1 Y = -20/20 = -1
Z = 40/20 = 2
Los valores de las variables son:
X = 1 Y = -1 Z= 2
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